Rentas PERIODICAS TEMPORALES (Valor Actual)

Ahora veamos otra clase de rentas: las Periódicas y Temporales. Como suelo hacer siempre que puedo, expongo un ejemplo:

Ejemplo

Ahora somos los propietarios de una concesionaria de una red ferroviaria que recorre el centro y norte de España. Esta concesión va a durar los próximos 25 años, y por imagen pública, hemos convocado un premio quinquenal de pintura. Las dos pinturas ganadoras de cada convocatoria pasarán a ser de nuestra propiedad. La dotación de los premios será de 100000 y 50000 euros, para los autores de la primera y segunda obra pictórica premiadas, respectivamente. La primera convocatoria será dentro de 5 años. Pues, la pregunta de siempre en todos los departamentos financieros: ¿cuál es el importe de la dotación a efectuar, suponiendo que pudiéramos rentabilizar esos fondos al 4%?

Solución

Pues, como en todos los tipos de rentas ya vistos, se trata de calcular el Valor Actual de una renta; Constante, Temporal, Periódica e Inmediata. Lo podemos hacer sumando el valor actual de cada uno de sus términos; pero, como siempre, buscaremos una nueva fórmula que nos facilite el trabajo. Como siempre, hay que seguir 4 pasos (puede resultar un tanto repetitivo, pero en el mundo de las finanzas, tras todos esos términos que pueden parecer algo confusos, todo se reduce a Valor Final y Valor Actual, y poco más)

Primer paso

Identificar el tipo de renta (en nuestro caso, una renta Constante, Temporal (tiene t términos), Periódica (entre dos términos consecutivos transcurren p periodos de capitalización de intereses), Inmediata)

Segundo paso

Actualizamos y sumamos todos los términos de la renta:

V₀ = R/(1+r)^p + R/(1+r)^2p + R/(1+r)^3p +.............+R/(1+r)^tp

Tercer paso

Sacamos R factor común de la expresión anterior:

V₀ = R*[1/(1+r)^p + 1/(1+r)^2p + 1/(1+r)^3p +......+ 1/(1+r)^tp]

Y en el corchete tenemos la suma de una serie en progresión geométrica, con un número limitado de términos. La razón de esta serie es 1/(1+r)^p. Un término cualquiera multiplicado por esta razón nos da el siguiente término. Las series en progresión geométrica que tienen un número limitado de términos se pueden sumar aplicando la siguiente fórmula:

SUMA TOTAL = a₁*(r_n - 1)/(r-1)

Donde:

• a₁ es el primer término de la serie. En nuestro caso, 1/(1+r)^p
• n es el número de términos de la serie que queremos sumar. En nuestro caso, t.
• r es la razón de la serie. En nuestro caso, 1/(1+r)^p.

Seguro que todo esto ya os suena. Al final, casi todo en finanzas (préstamos, bonos, acciones, deuda pública....) se reduce a Valor Actual y Valor Final. Ya lo veréis.

Cuarto paso

Aplicamos la fórmula que suma la serie, y simplificamos al máximo la expresión obtenida:

V₀ = R/(1+r)^tp*((1+r)^tp - 1)/((1+r)^p -1)

Su significado:

• R es el término de la Renta
• r es el tipo de interés utilizado para actualizar
• t es en las fórmulas de las rentas temporales, EL NÚMERO DE TÉRMINOS DE LA RENTA
• p representa en las fórmulas de rentas periódicas, CADA CUÁNTOS PERIODOS DE CAPITALIZACIÓN DE INTERESES SE PRODUCE EL TÉRMINO DE LA RENTA.

Aplicando la fórmula para nuestro caso:

V₀ = 150000/(1,04)²⁵*((1,04²⁵ - 1)/(1,04⁵ -1)) = 432638,93 (si los cálculos no me fallan)

Visto el Valor Actual, podemos pasar ahora a ver el Valor final