Rentas Enteras e Indefinidas (Progresión Geométrica)

De
Ya estoy de vuelta. ¿Qué tal las fiestas navideñas? Deseo que genial. Ahora, volvamos con las pilas cargadas a aprender finanzas. Estamos viendo las rentas en Progresión Geométrica, y en este ejemplo, vamos a tratar las rentas Enteras e Indefinidas.

Ejemplo


Volvamos al ejemplo de la empresa tecnológica y su Fundación. No estamos muy convencidos de que la idea de convocar un premio para las apps, con una dotación anual de 10000 euros sea del todo acertada. No  nos parece muy razonable que la dotación del premio sea de 10000 euros todos los años, ya que en ese caso, el premio tendrá cada año un valor relativo menor. Este premio, dentro de 25 o 30 años, estará muy depreciado (salvo que ocurra una deflación o algo parecido). Y lo estará más aún dentro de 50, 60, 70. Y con esto sobre la mesa, con una inflación esperada del 2% anual, ¿qué aportación se debe hacer a la Fundación?

Solución


No nos interesa calcular el importe de los premios cada año. El premio del primer año es de 10000 euros, el del segundo 10200 (10000 euros más su 2 por ciento), el del tercero, 10404 (10200 más su 2%), y así sucesivamente. Estas cantidades nos indican que estamos ante una renta Variable. Nos interesa más poner de manifiesto su evolución:

Año 1: 10000
Año 2: 10000+ 0,02*10000 = 10000*(1,02)
Año 3: 10000*(1,02) + 0,02*(10000*(1,02)) = 10000*(1,02)2
Año 4: 10000*(1,02)2 + 0,02*(10000*(1,02)2) = 10000*(1,02)3

Y así sucesivamente. Para determinar el Valor Actual, es recomendable buscar una fórmula que valore una renta de estas características. Y seguiremos los pasos de demostraciones anteriores (ya veréis que es casi idéntico).

Primer paso


Como siempre, hay que identificar el tipo de renta. En este ejemplo, se trata de una renta en Progresión Geométrica, (ya que un término cualquiera  multiplicado por (1+g) nos da el siguiente), Indefinida, Entera e Inmediata

Segundo paso


Actualizamos y sumamos los términos de la renta.

V0 = R/(1+r) + R*(1+g)/(1+r)2 + R*(1+g)2/(1+r)3 +...........

Tercer paso


Sacamos R factor común de la expresión anterior:

V0 = R*[1/(1+r) + (1+g)/(1+r)2 + (1+g)2/(1+r)3+............]

  • En el corchete tenemos la suma de una serie en progresión geométrica con un número ilimitado de términos
  • La razón de la serie es (1+g)/(1+r)
  • Para sumar esta serie, que tiene infinitos términos, aplicamos la fórmula:

SUMA TOTAL = a1/(1 - rz)

Cuarto paso


Aplicar la fórmula, y simplificar al máximo. En nuestro caso tenemos:

V0 = R/(r-g) 

Como es muy importante entender la fórmula, veamos los términos:

  • R es el primer término de la renta
  • r es el tipo de interés utilizado para actualizar
  • g es la tasa de crecimiento periódico de los términos de la renta
Y lo que hace es:
  • Actualiza los infinitos términos de la renta
  • Nos los acumula en valor de un periodo de capitalización de intereses antes del primer término
Y ahora aplicamos la fórmula:

V0 = R/(r-g) = 10000/(0,06-0,02) = 250000 euros

Os habréis dado cuenta de que si g =0, la renta no crece, y estaríamos ante una renta constante. Y también que si g>r, el valor actual no tendría sentido. Y por último, si g = r, el valor actual sería infinito

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