Valor Actual de Rentas Enteras y Temporales (Progresión Geométrica)

De
Sigamos con las rentas en Progresión Geométrica. Y me voy a basar para explicar el Valor Actual de las rentas Enteras, Temporales en este ejemplo. ¡Adelante!

Ejemplo


El Sr.X, cuyo hijo va a estudiar Administración y Dirección de Empresas a partir del próximo año, ha pensado que no es muy realista esperar que con 4754,80 euros invertidos hoy al 10% de interés anual, puedan hacer frente a la totalidad de las tasas académicas de su carrera (pincha en el enlace, para recordar el ejemplo). Si todo sube en la vida (por desgracia, así es), es de suponer que también dichas tasas lo hagan. Por ello, se plantea cuál debe ser el capital que debe invertir hoy, al mismo tipo de interés, si se espera que las tasas del año que viene sean 1500 euros, y que tengan, en los años siguientes, un incremento del 5% anual.

Solución


Para identificar la renta, necesitamos determinar la corriente de pagos, ya que no estamos ante un caso de renta constante. Esta corriente será:

Año 1: 1500
Año 2: 1500 +0,05*1500 ==> 1500*(1+0,05)
Año 3: 1500*(1,05) + 0,05*(1500+1,05) ==>1500*(1,05)2
Año 4: 1500*(1,05)2 +0,05*(1500+1,05)2==>1500*(1,05)3
Año 5: 1500*(1,05)3 +0,05*(1500+1,05)3 ==>1500*(1,05)4

Por lo tanto, tenemos que calcular el valor actual de una renta en Progresión Geométrica, Temporal, Entera, Inmediata. Se podría hacer actualizando término a término, pero creo que es mejor buscar una fórmula capaz de manejar una renta de estas características. Vamos a por ello.

Primer paso


Como siempre, se trata de identificar la renta. Ya sabemos que es una renta en Progresión Geométrica, Temporal, Entera, Inmediata.

Segundo paso


Actualizamos y sumamos los términos de la renta:

V0 = R/(1+r)+R*(1+g)/(1+r)2+R*(1+g)2/(1+r)3+...+R*(1+g)t-1/(1+r)t

Tercer paso


Sacamos R factor común de la expresión anterior, y tenemos:

V0 = R*[1/(1+r) + (1+g)/(1+r)2 + (1+g)2/(1+r)3 + .......+(1+g)t-1/(1+r)t]

El corchete presenta la suma de una serie en progresión geométrica con un número limitado de términos, t términos
La razón de la serie es (1+g)/(1+r)
Para sumar esta serie, que tiene un número limitado de términos, aplicamos la fórmula:

SUMA TOTAL = a1*(rzn -1)/(rz -1)

Cuarto paso


Aplicamos la fórmula del sumatorio, y simplificamos al máximo, y tenemos:

V0 = R/(1+r)t*((1+r)t -(1+g)t)/(r-g)

Para entenderla:
  • R es el primer término de la renta
  • r es el tipo de interés utilizado para actualizar
  • t es el número de términos
  • g es la tasa de crecimiento periódico de los términos de renta.
Y esta fórmula hace lo siguiente:
  • Actualiza los t términos de renta.
  • Nos los acumula en valor de un periodo de capìtalización de intereses antes del primer término
Sólo nos queda aplicar la fórmula:

V0 = 1500/1,15*((1,1)5 - (1,05)5)/(0,1-0,05) ==>6225,89 (aprox)

Por lo tanto, si las tasas académicas aumentan un 5%, el Sr.X debe colocar hoy 6225,89 euros para hacer frente al coste de la formación universitaria de su hijo.

NOTA: si g=r, hay que actualizar término a término. Ya lo explicaré en otro ejemplo

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