Ejercicios de repaso de matemática financiera

De
Recuerda que en la matemática financiera vas a utilizar el concepto de proporción y la regla de tres para el cálculo de porcentajes y la resolución de problemas de interés simple.

En los problemas de interés compuesto y anualidades aparecen progresiones geométricas. Recuerda que la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica es Sn = a1·(rn - 1)/(r - 1)

Problema 1

El café pierde un 20% de su peso al soltarlo. Si el precio del café sin tostar es de 3 euros el kg, ¿a cuánto se debe el vender el kg de café tostado para ganar el 15% del precio de compra?

Para tener 1 kg de café tostado, la cantidad de café sin tostar que necesitamos es:

x - 20x/100 = 1 => 0,8x = 1 => x = 1,25 kg

El precio de compra de esta cantidad será 1,25·3 = 3,75 euros.

Y para ganar el 15%, el precio de venta deberá ser 3.75 + (3,75·15)/100 = 4,3125 euros el kg

Problema 2

Hemos heredado 50000 euros y después de haber pagado el 28% de impuestos de sucesiones, depositamos lo que queda en un pago. ¿A qué tasa hemos invertido nuestro capital, si después de un año y 8 meses hemos retirado 3900 euros de interés?

Después de pagar el 28% de impuestos, nos queda el 72% de 50000, que son

(50000·72)/100 = 36000 euros

Este capital, depositado durante 20 meses produce unos intereses de 3900 euros. Teniendo en cuenta que:

I = Crt/1200 => r = 1200·I/c·t => r = (1200·3900)/(36000·20) = 6,5%

Problema 3

¿Cuántos años se necesitan para amortizar una deuda de 500000 euros contraída al 4% de interés compuesto, si cada año se entrega una anualidad igual al 5% del capital inicial?
  1. La anualidad constante será (500000·5)/100 = 25000 euros.
  2. La deuda adquirida al 4%, al cabo de t años que va a durar se convertirá en: D = 500000(1 + 0,04)t
  3. La primera anualidad pagada se convierte al cabo de t - 1 en 25000(1 + 0,04)t-1. La segunda se convierte en 25000(1 + 0,04)t-2. Y así sucesivamente, de modo que la suma de todas ellas es igual a D.
Por lo tanto:

25000(1,04t-1 + 1,04t-2 + ... + 1) = 500000(1,04)t

Sumando los términos de la progresión geométrica que aparece entre paréntesis tenemos:

25000(1,04t - 1)/(1,04 - 1) = 500000(1,04)t

Haciendo operaciones llegamos a (625000 - 500000)(1,04)t = 625000

Por lo tanto:

(1,04)t = 5

Y, tomando logaritmos:

tlog(1,04) = log 5 => t = (log 5)/log(1,04) = 41 años (aprox)

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