El blog para aprender finanzas

 Más ejercicios, que ponen en práctica varios conceptos explicados en este blog. Ejercicio 1 ¿Cuánto tiempo ha de estar colocado un capital al 8% para que se produzcan unos intereses iguales a la mitad del capital? Resolución Puesto que los intereses = crt/100, y además los intereses deben ser igual a c/2, tenemos: c/2 = crt/100 => 1/2 = rt/100 => 50/8 = 6,25 años (r = 8) El tiempo necesario es 6 años y 3 meses. Ejercicio 2 Tenemos que calcular cuánto dinero tienes que invertir para que en 4 años de interés compuesto, al 5% con acumulación trimestral se convierta en un 1000000 de euros. Resolución La fórmula que da el capital final del interés compuesto es c f = d(1+ i) t . Como la acumulación de intereses se hace 4 veces por año, el tanto por uno y por periodo es 0,05/4 y el número de periodos de capitalización es 4·4 = 16. Así pues: 1000000 = c(1 + 0,05/4) 16 Por lo tanto, c = 819746,35 (aprox.) Ejercicio 3 Vamos a calcular ...

 Más ejercicios de costes. ¡Adelante! Ejercicio 1 El coste C(x) de una firma que fabrica x tiestos de barro está representado por la función C(x) = 6x + 2200, en euros. La firma vende cada tiesto a 106 euros. Tenemos que: Calcular los costes fijos de producción. Calcular el coste de producir 100 tiestos. Calcular el coste promedio cuando se producen 100 tiestos. Calcular los ingresos por la venta de esos 100 tiestos. Calcular el beneficio. Calcular cuántos tiestos hay que vender para alcanzar el puesto de equilibrio. 1. C(0) = 2200. Los costes fijos son de 2200 euros. 2. C(100) = 2800. El coste de fabricar 100 tiestos es de 2800 euros. 3. El coste promedio es de 2800/100 = 28 euros. 4. El ingreso es de100·(106) = 10600 euros. 5. El beneficio es de 10600 - 2800 = 7800 euros. 6. C(x) = I(x) => 6x + 2200 = 106x => x = 22. Hay que vender 22 tiestos para alcanzar el punto de equilibrio. Ejercicio 2 Una tienda de comestibles vende el litro de aceite incrementando el precio de coste...

 Algunos ejercicios para poner en práctica lo aprendido en esta entrada y esta otra . Ejercicio 1 Un fabricante puede vender bolígrafos a 1 euro la unidad. El coste total está formado por los gastos fijos, de 200 euros, más los costes de producción, correspondientes a 60 céntimos de euro por unidad. ¿Cuántas unidades debe vender el fabricante para obtener beneficio nulo? ¿Cuál es el beneficio o pérdida si vende 300 bolígrafos? ¿Cuál si vende 800? ¿Cuántos bolígrafos debe vender para obtener un beneficio de 300 euros? Podemos denominar como x el número de bolígrafos vendidos; las funciones que representan el ingreso por la venta y el coste de fabricación son: I(x) = x y C(x) = 200 + 0,6x respectivamente. 1. B(x) = I(x) - C(x) = 0,4x - 200 y B(x) = 0 => x = 500. Para obtener el beneficio nulo, ha de vender 500 bolígrafos. Puedes recordar la fórmula del umbral de rentabilidad y aplicarla también (en este caso, 200/(1 - 0,6). 2. B(300) = -80 y B(800) = 120. Pierde 80 euros si vende...

 El umbral de rentabilidad El umbral de rentabilidad se produce cuando los ingresos totales son iguales a los costes totales. Para hallar el coste medio total: Coste total/Nº de unidades producidas = (Costes fijos + costes variables)/(Nº de unidades producidas) Para hallar el coste variable unitario: Costes variables/Nº de unidades producidas Por lo tanto, el coste medio total es mayor que el coste variable total. La diferencia será el cociente: Costes fijos/Nº de unidades producidas La fórmula para hallar el umbral de rentabilidad es por tanto: Costes fijos/(Precio del bien - Coste variable unitario) En las siguientes entradas, unos cuantos ejercicios para entender bien los costes.

Otro aspecto importante de las finanzas lo constituyen los costes de las empresas. Espero que os resulte útil. Costes variables Son los costes producidos por la utilización  de los factores que son proporcionales al volumen de producción. Por lo que mantienen su proporcionalidad en base a la cantidad de producto a utilizar. Costes fijos Son los costes producidos por la utilización de factores independientes (dentro de ciertos límites) del volumen de fabricación y además dependientes de la estructura de la empresa, de tal modo que varían en cuantía solamente cuando cambia dicha estructura. El coste variable unitario se calcula: Costes variables totales/Unidades producidas Ejemplo de aplicación Tomamos un relevo de 8 horas. Si trabajamos 2 relevos, serán 16 horas. Los costes variables totales (CVT) que agruparán todos los costes variables necesarios para fabricar el producto X se obtendrá por la suma: Factor V₁ = V'₁ = unidades físicas del factor V₁ X precio de compra del factor V₁. ...

Recuerda que en la matemática financiera vas a utilizar el concepto de proporción y la regla de tres para el cálculo de porcentajes y la resolución de problemas de interés simple. En los problemas de interés compuesto y anualidades aparecen progresiones geométricas. Recuerda que la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica es S n = a 1 ·(r n - 1)/(r - 1) Problema 1 El café pierde un 20% de su peso al soltarlo. Si el precio del café sin tostar es de 3 euros el kg, ¿a cuánto se debe el vender el kg de café tostado para ganar el 15% del precio de compra? Para tener 1 kg de café tostado, la cantidad de café sin tostar que necesitamos es: x - 20x/100 = 1 => 0,8x = 1 => x = 1,25 kg El precio de compra de esta cantidad será 1,25·3 = 3,75 euros. Y para ganar el 15%, el precio de venta deberá ser 3.75 + (3,75·15)/100 = 4,3125 euros el kg Problema 2 Hemos heredado 50000 euros y después de haber pagado el 28% de impuestos de sucesiones, dep...

Como se ha visto, el tanto por ciento representa una cierta cantidad con respecto a 100. Si en lugar de tomar como referencia 100, se toma la unidad 1, se le llama tanto por uno . Si se divide el tanto por ciento entre 100 dará el tanto por uno correspondiente. Si t es un tanto por ciento, t/100 es el tanto por uno correspondiente. Por ejemplo, si de cada 100 unidades se consideran 40, de una unidad se considerará 40/100 = 0,4. 0,4 es el tanto por uno correspondiente al 40%. Para realizar las operaciones, como habréis podido comprobar a lo largo de las entradas del blog, es más práctico y rápido utilizar el tanto por uno correspondiente en lugar del tanto por ciento.

Se llama tasa de interés o rédito al tanto por ciento al que está invertido un capital en una unidad de tiempo, es decir, al cociente entre el interés producido y el capital, en una unidad de tiempo. Equivale al interés que producen 100 euros (o cualquier otra unidad monetaria) en un año, y es un valor fijo. Generalmente, se toma como unidad de tiempo el año. En caso contrario, se debe especificar. La tasa anual de interés se representa por I, i y viene expresada como un porcentaje (4%, por ejemplo), o como su equivalente en forma decimal o tanto por uno (0,04). En los cálculos, se utiliza generalmente está última expresión, aunque la información se transmita en forma de tanto por ciento. Ejemplo Tenemos que calcular la tasa de interés a que está invertido un capital de 40000 euros si en un año se han convertido en 43200 euros. El interés producido ha sido: 43200 - 40000 = 3200 euros. La tasa de interés, por tanto, será: i = 3200/40000 = 0,08 ...

Sigamos con nuestro repaso. Se llama interés al beneficio que se obtiene al prestar una cantidad de dinero, capital, durante un cierto tiempo. Es decir, el interés es la diferencia entre el capital final y el capital inicial. El interés que produce un capital depende del tiempo que esté invertido o prestado, de forma que el interés I producido por un capital C es directamente proporcional al tiempo que esté invertido, y también directamente proporcional al capital C . Entre el interés que produce un capital en un cierto periodo de tiempo y el capital inicial, hay por tanto, una relación. Ejemplo Vamos a suponer que hacemos un préstamo de 5000 euros, con el acuerdo de que al cabo de un año se han de devolver 150 euros más de la cantidad prestada. El interés es de 150 euros y el capital 5000 euros. La relación es de 150/500 = 0,03. 0,03 es el tanto por uno que representa 150 de 5000, que equivale al 3%. Por lo tanto, la relación es que 150 es el 3% de 5...

Un par de ejemplos más, que espero os sean de utilidad. Ejemplo 1 El precio de un jersey es de 58 euros y sobre este precio se hace un 15% de descuento. ¿Cuánto se pagará por él? Calculamos el 15% de 58: (15·58)/100 = 8,70 euros Se resta el descuento del precio del jersey: 58 - 8,70 = 49,30 euros También podemos razonar de este modo: Si se hace un 15% de descuento, por el jersey se paga el 85% de su valor (100 - 15 = 85), es decir: (85·58)/100 = 49,30 euros Ejercicio 2 Por un mueble que marcaba 72 euros se han pagado 63,50 euros. ¿Qué tanto por ciento de descuento se ha efectuado? 72 - 63,50 = 8.50 La proporción en este caso es: 72/8,50 = 100/t Despejando t: t = (8,50·100)/72 = 11,80  El descuento ha sido del 11,80% (aprox) ______________________________________________________ Bueno, si seguís este blog (o seguís otros tantos dedicados a las finanzas), habréis podido comprobar que las matemáticas y razonamiento utilizado...

Ahora toca repasar lo visto y explicado en este tema . Espero que os resulte útil. Ejercicio 1 Tenemos que averiguar en cuánto se convierte un capital de 120000 euros al cabo de 5 años, y a una tasa del interés compuesto del 8%. Aplicando la ya conocida fórmula C n = C(1 + i) n . Tenemos que: C = 120000; n = 5; i = 8/100 = 0,08 Por lo tanto: C 5 = 120000(1 + 0,08) 5 = 120000·1,47 = 176319,36 (aprox.) Ejercicio 2 Un cierto capital invertido durante 7 años a una tasa de interés compuesto anual del 10% se ha convertido en 1583945 euros. Tenemos que calcular el capital inicial, sabiendo que los intereses se han pagado semestralmente. i = 10/100 = 0,1; C 7 = 1583945; n = 7 Como los intereses se han  pagado semestralmente, la fórmula que se ha de aplicar es: C 7 = C(1 + 0,1/2) 7·2 = C(1 + 0,1/2) 14 Por lo tanto: 1583945 = C(1 + 0,05) 14 1583945 = C·1,98, y despejando C: C = 1583945/1,98 = 800000 euros (aprox. y redondeando) ...

Unos cuantos ejercicios para repasar lo explicado en este tema. Ejercicio 1 Tenemos que calcular a cuanto asciende el interés simple producido por un capital de 25000 euros, invertidos a 4 años a una tasa del 6% anual. Se ha de expresar el 6% en tanto por uno, y obtenemos un 0,06. Aplicamos la fórmula del interés simple, que es I = C·i·t: I = 25000·0,06·4 = 6000 El interés es de 6000 euros. Ejercicio 2 Tenemos que calcular el interés simple producido por 30000 euros, durante 90 días, a una tasa de interés anual del 5%. 90 días = 90/360 años I = 30000·0,05·(90/360) = 375 euros Ejercicio 3 Al cabo de un año, un banco ha ingresado en una cuenta de ahorro, en concepto de intereses, 970 euros. La tasa de interés de una cuenta de ahorro es del 2%. ¿Cuál es el saldo medio (o sea, el capital) de dicha cuenta en ese año? 970 = C·0,02·1 => C = 970/0,02 = 48500 El saldo medio ha sido de 48500 euros. Ejercicio 4 Un préstamo de 20000 euros se conviert...

Veamos tres sencillos y cotidianos  ejemplos sobre el tanto por ciento. Espero que os sea útil. Ejemplo 1 Sobre un artículo se hace un descuento del 8% y se paga un total de 1564 euros. ¿Cuál era su precio inicial? El precio inicial - 8% del precio inicial = 1564. Por lo tanto: P - 8P/100 = 1564 => 100P - 8P = 156400  Resolviendo la ecuación: 92P = 156400 => P = 156400/92 = 1700 euros Ejemplo 2 La factura de una reparación doméstica asciende a 4800 euros, y sobre esta cantidad, se le aplica un 21% de impuesto. ¿Cuánto pagaremos finalmente? Calculamos el 21% de 4800: 4800·21/100 = 1008 Por lo que en total pagaremos: 4800 + 1008 = 5808 euros Ejemplo 3 En un trimestre, el consumo de agua de una familia ha sido de 69 m 3 , y cada m 3 cuesta 20 céntimos de euro. Al importe de agua consumida se le añade un 6% de impuestos, y además, la factura recibió un recargo del 20% por haberse pagado fuera del plazo. ¿Cuánto se pagó al fi...

Ahora veamos como se halla la fórmula del valor final de una anualidad ordinaria. Sea R el pago periódico de una anualidad ordinaria, i la tasa de interés por periodo de interés, n el número de intervalos de pago (igual al número de periodos de interés por ser una anualidad ordinaria) y V el valor final de dicha anualidad. El primer pago R se convertirá en R(1 + i) n-1 , puesto que está invertido durante n - 1 periodos de interés. El segundo pago R se convertirá en R(1 + i) n-2 . ....... El penúltimo pago se convertirá en R(1 + i) El último pago será R. El valor final será: V = R + R(1 + i) + R(1 + i) 2 + .... + R(1 + i) n-2 + R(1 + i) n-1 Como puedes observar, se ha obtenido la suma d n términos de una progresión geométrica de razón (1 + i ) y término inicial R . Aplicando la fórmula, ya usada y conocida, de los n primeros términos de una progresión geométrica: S n = a n [(r n - 1)/(r - 1)] obtenemos: V = R[((1 + i) n - 1)/i] Veamos ...

Bueno, tras un periodo de tiempo, vuelvo a retomar este blog. La anualidad Las anualidades son pagos iguales efectuados a intervalos iguales de tiempo (generalmente, un año) que se llaman intervalos de pago. Cuando el pago de la anualidad se efectúa al final del intervalo de pago, se llama anualidad ordinaria ; y si se efectúa al principio del intervalo de pago, se llama anualidad anticipada . Anualidad Ordinaria En una anualidad ordinaria simple, los pagos se efectúan, periódicamente según un cierto intervalo de pago que coincide con los periodos de interés y, además, cada pago se realiza al final del primer intervalo, el segundo al final del segundo intervalo, etc. ¿Cómo podemos calcular el capital, valor final, en que se convierte una anualidad en un cierto periodo de tiempo? Pues vamos a verlo con este ejemplo: Ejemplo Tenemos que calcular el valor final de una anualidad ordinaria de 10000 euros anuales durante 4 años, al 5% de interés. Como es una...

Un ejemplo de lo explicado aquí . Ejemplo Vamos a liquidar una cuenta a 31-12 que remunera los saldos acreedores con un interés del 1%, mientras que para los saldos deudores se aplica un 15%. La cuenta presenta los siguientes movimientos: Fecha Valor Concepto Importe 01-sep 02-sep Abono remesa 10.000,00 € 15-sep 17-sep Abono cheque 5.000,00 € 15-sep 14-sep Comisión -30,00 € 03-oct 02-oct Reintegro efectivo -175,00 € 22-oct 20-oct Cargo recibo -300,00 € 17-nov 18-nov Abono efectivo 2.500,00 € 18-nov 15-nov Cargo letra -600,00 € 23-dic 23-dic Transferencia 1.400,00 € Y la liquidación se haría de la siguiente manera: ...

Recuerda que las cuentas con un interés no recíproco presentan un interés distinto para los saldos deudores que para los acreedores. Como el método hamburgués es el único que utiliza los saldos para la liquidación de cuentas es, por tanto, el más apropiado y utilizado para liquidar este tipo de cuentas (es el más usado en la práctica bancaria). Para liquidar cuentas con interés no recíproco, se deben ordenar las operaciones por vencimientos (no por fecha de realización de la operación). De este modo, se evita la aparición de días negativos. Una vez ordenadas, se procede a liquidar la cuenta tal y como se hacía en el caso del interés recíproco, pero calculando los números del Debe y los del Haber al interés que determine la cuenta. En la siguiente entrada, un ejemplo.

Los números rojos se producen cuando en una cuenta corriente hay un capital con un vencimiento posterior a la fecha de cierre de la cuenta. Este caso, puede producirse tanto en el sistema directo como el hamburgués, y para la liquidación de la cuenta, los días a multiplicar los capitales o saldos serán negativos, por lo que los números comerciales también lo serán. En el caso indirecto existirán números rojos cuando un vencimiento sea anterior a la época (aunque es muy poco probable que suceda), y se resuelve del mismo modo que los anteriores casos. En las siguientes entradas, veremos ejemplo de liquidación de cuentas con interés no recíproco.

Vamos a resolver este ejemplo mediante el método hamburgués. Fecha Concepto Capitales Valor Días Saldo Números Debe Haber Debe Haber 20-sep Comisión 200 € - 20-sep 3 200 D 600 - 20-sep Cheque - 2.000 € 23-sep 8 1.800 H - 14.400 01-oct Letra 300 € - 01-oct 15 1.500 H - 22.500 15-oct Efectivo - 2.500 € 16-oct 8 4.000 H - 32.000 25-oct Divisas 1.500 € - 24-oct 27 2.500 H - 67.500 20-nov Reintegro 360 € - 20-nov 41 2.140 H - 87.740 ...

La característica de este método radica en que los números se calculan en base a los saldos de capitales y no sobre éstos directamente. El procedimiento a seguir es: Se busca la diferencia entre un capital y el próximo. Esta diferencia se multiplica por la diferencia de capitales del Debe y el Haber (saldo de capitales), y se obtienen los números comerciales. Estos números se dividen por el divisor fijo y se halla la cantidad de interés. NOTA: El divisor fijo es 1/36500 Un ejemplo en la siguiente entrada