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Un ejemplo de lo explicado aquí. Ejemplo Vamos a liquidar una cuenta, a 31-12, que remunera los saldos acreedores con un interés del 1%, y para los saldos deudores se debe aplicar un 15%. La cuenta presenta los siguientes movimientos: Fecha Valor Concepto Importe 01-sep 02-sep Abono remesa 10.000,00  15-sep 17-sep Abono cheque 5.000,00  15-sep 14-sep Comisión 30,00  03-oct 02-oct Reintegro efectivo 175,00  22-oct 20-oct Cargo recibo 300,00  17-nov 18-nov Abono efectivo 2.500,00  18-nov 15-nov Cargo letra 600,00  23-dic 23-dic Transferencia 1.400,00  Y la liquidación se haría así: Capitales Números Fecha Concepto D H Valor Días Saldo D H 01-sep Remesa 10000,00 2-sep 12 10000,00 120000,00

Recuerda que las cuentas con un interés no recíproco presentan un interés distinto para los saldos deudores que para los acreedores. Como el método hamburgués es el único que utiliza los saldos para la liquidación de cuentas es, por tanto, el más apropiado y utilizado para liquidar este tipo de cuentas (es el más usado en la práctica bancaria). Para liquidar cuentas con interés no recíproco, se deben ordenar las operaciones por vencimientos (no por fecha de realización de la operación). De este modo, se evita la aparición de días negativos. Una vez ordenadas, se procede a liquidar la cuenta tal y como se hacía en el caso del interés recíproco, pero calculando los números del Debe y los del Haber al interés que determine la cuenta. En la siguiente entrada, un ejemplo.

Los números rojos se producen cuando en una cuenta corriente hay un capital con un vencimiento posterior a la fecha de cierre de la cuenta. Este caso, puede producirse tanto en el sistema directo como el hamburgués, y para la liquidación de la cuenta, los días a multiplicar los capitales o saldos serán negativos, por lo que los números comerciales también lo serán. En el caso indirecto existirán números rojos cuando un vencimiento sea anterior a la época (aunque es muy poco probable que suceda), y se resuelve del mismo modo que los anteriores casos. En las siguientes entradas, veremos ejemplo de liquidación de cuentas con interés no recíproco.

Vamos a resolver este ejemplo mediante el método hamburgués. Capitales Numeros Fecha Concepto D H Valor Día Saldo D H 20-sep Comisión 200 20-sep 3 200 600 20-sep Cheque 2000 23-sep 8 1800 14400 01-oct Letra 300 01-oct 15 1500 22500 15-oct Efectivo 2500 16-oct 8 4000 32000 25-oct Divisas 1500 24-oct 27 2500 67500 20-nov Reintegro 360 20-nov 41 2140 87740 31-dic Saldo 18,37 223540

La característica de este método radica en que los números se calculan en base a los saldos de capitales y no sobre éstos directamente. El procedimiento a seguir es: Se busca la diferencia entre un capital y el próximo. Esta diferencia se multiplica por la diferencia de capitales del Debe y el Haber (saldo de capitales), y se obtienen los números comerciales. Estos números se dividen por el divisor fijo y se halla la cantidad de interés. NOTA: El divisor fijo es 1/36500 Un ejemplo en la siguiente entrada

Una vez explicada la teoría, ( aquí ), veamos un ejemplo. Me voy a basar en este ejemplo ya explicado. Solución Date cuenta que hemos tomado como época el 20 de setiembre.Y las cifras marcadas en negro se obtienen como l a diferencia de la suma de saldos de capitales del haber y del debe, multiplicada por el número de días que van desde la época hasta fin de año. Y ten en cuenta que aunque tenga saldo acreedor, se anota en el debe (estamos trabajando con el método indirecto, recuerda). Y por lo tanto nos queda: Capitales Numeros Concepto D H Valor Día D H Cheque 2000 23-sep 3 6000 Comisión 200 20-sep 0 0 Letra 300 01-oct 11 3300 Efectivo 2500 16-oct 26 65000 Divisas 1500 24-oct 34 51000 Reintegro 360 20-nov 61 21960 Rectificación 102

El método indirecto también se basa en el cálculo de los intereses de cada uno de los capitales, pero en lugar de calcular la diferencia de días entre los vencimientos y la fecha de liquidación como hemos visto en el método anterior, aquí elige una fecha anterior o igual a la del primer vencimiento, llamada época, y calcula la diferencia de días que existen entre la época y los distintos vencimientos. Una vez determinada esta diferencia, se multiplican los días por los distintos capitales, para obtener los números comerciales. Estos números comerciales se tienen que rectificar, y para ello, se multiplica el saldo de los capitales por los días que hay entre la fecha de cierre y la época. El resultado de esta multiplicación, se anota en la columna contraria a la del saldo de capitales. Para hallar el interés, se divide el saldo de los números por el divisor fijo. En este caso, a diferencia del anterior, los intereses son a su favor si el saldo es deudor, y a nuestro favor, si son d

En una cuenta bancaria, se efectúan las siguientes operaciones: Se ingresa un cheque con valor nominal 2000 euros el día 20 de setiembre. El banco aplica un valor de 3 días, y una comisión de negociación de 200 euros el mismo día del ingreso. Cargo de una letra de 300 euros el 1-10 Ingreso efectivo el día 15-10 de 2500 euros, con valor 16 de octubre Compra de divisas por un valor de 1500 euros, el día 25 de octubre, con valor 24 de octubre Reintegro efectivo de 360 euros el día 20 de noviembre. Dicha cuenta está remunerada con interés del 3% recíproco. Efectuar la liquidación de esta cuenta al 31 de diciembre Solución Capitales Números Fecha Concepto D H Valor Día D H 20-sep Cheque 2000 23-sep 99 198000 20-sep Comisión 200 20-sep 102 20400 01-oct Letra 300 01-oct 91 27300 15-oct Efectivo

El método directo consiste en calcular el interés de cada uno de los capitales a partir de su fecha de vencimiento hasta el final del periodo acordado de liquidación. Es decir, en primer lugar se deben determinar los días que permanece un capital en la cuenta . Para realizar el cálculo, es necesario que se tenga en cuenta la fecha de valoración (o sea, la fecha de referencia para iniciar el cálculo de intereses) , que a menudo no coincide con la fecha de la operación. Una vez calculado el tiempo, se multiplica por los capitales involucrados, obteniendo los números comerciales. Estos números se colocan en el Debe de la cuenta, si el saldo es deudor, y en el Haber, si el saldo es acreedor. A continuación, se suman todos los números del Haber, y se les resta la suma de los números del Debe, obteniendo el saldo de los números comerciales. El saldo obtenido de números comerciales, se divide por el divisor fijo, y se obtiene la cantidad de intereses. Estos intereses pueden ser deudor

Llegado el vencimiento acordado, se procede a liquidar la cuenta corriente. Además de liquidar el capital pendiente, en caso de que se trate de una cuenta corriente con interés, se deben liquidar también los intereses referentes a los saldos y la valoración temporal de éstos. La liquidación se puede realizar mediante tres métodos, que son: Método directo Método indirecto Método hamburgués En las siguientes entradas explicaré y pondré ejemplos de estos métodos, y veremos la liquidación de cuentas con interés recíproco (es decir, mismo interés a aplicar tanto a los capitales deudores como a los capitales acreedores) , y liquidación con i nterés no recíproco (las que presentan un interés distinto para capitales deudores y acreedores)

Empezamos tema nuevo. Espero que os sea útil. Una cuenta corriente es un acuerdo entre dos personas físicas o jurídicas, que efectúan habitualmente operaciones financieras o comerciales entre sí , mediante el cual van anotando en el Debe y en el Haber de dicha cuenta, los movimientos que se producen. Llegado el vencimiento acordado, se procede a liquidar la misma con expresión de los saldos que presente en el mencionado momento. Las cuentas corrientes pueden ser con interés o sin interés . Normalmente, las cuentas sin interés son las establecidas entre un proveedor y su cliente, que tienen estipulados unos suministros con sus vencimientos. Las cuentas corrientes con interés se acuerdan, generalmente, entre una entidad financiera y una persona física o jurídica (persona jurídica es una empresa). Estas cuentas, además, suelen establecer un interés distinto entre los saldos deudores y los saldos acreedores, es decir, un interés NO RECÍPROCO. Para aclararlo, los saldos deudore

Esta situación analiza, el comportamiento de dos variables de las que una de ellas es directamente proporcional a la cantidad de referencia, mientras que la otra es inversamente proporcional. El planteamiento de las ecuaciones es: Q 1 /(x 1 /y 1 )=Q 2 /(x 2 /y 2 )=.......=Q n /(x n /y n )=Q/(x 1 /y 1 +x 2 /y 2 +....+x n /y n ) Y despejando obtenemos: Q n = x n /y n *Q/(x 1 /y 1 +x 2 /y 2 +....+x n /y n ) Ejemplo Los dividendos a pagar a los accionistas de una empresa ascienden a 1000000 de euros. Se acuerda que el reparto se realice en relación directamente proporcional al capital aportado, y a la vez, en relación inversamente proporcional a los días libres. Dias libres Capital Socio 1 30 1000000 Socio 2 20 2000000 Socio 3 40 1500000 Y la solución es: Q 1 /(1000000/30)=Q 2 /(2000000/20)=Q 3 /(1500000/40)=1000000/(20500000/120) Y despejando: Q 1 = 1000000/30*(1000000/(20500000/120))=195121,95

Para plantear las ecuaciones se debe dividir las cantidades por el inverso de la multiplicación de las distintas variables, es decir: Q 1 /(1/x 1 *y 1 )=Q 2 /(1/x 2 *y 2 )=......=Q/(1/x 1 *y 1 +1/x 2 *y 2 +.....+1/x n *y n ) Obtenemos la fórmula; Q n =1/(x n *y n )*Q/(1/x 1 *y 1 +......+1/x n *y n ) Ejemplo Vamos a distribuir los beneficios de una empresa entre nuestros socios, teniendo en cuenta que se reparten de manera inversamente proporcional, en función de los días de vacaciones de cada uno de ellos, y de los días de absentismo sin justificar. Los beneficios ascienden a 500000 euros. Vacaciones Absentismo Socio 1 30 10 Socio 2 25 8 Socio 3 15 12 Y la solución es: Q 1 /(1/30*10)+Q 2 /(1/25*8)+Q 3 /(1/15*12) = 500000/(1/300+1/200+1/180) Q 1 = 1/300*500000/(25/1800) =120000 Q 2 = 1/200*500000/(25/1800)=180000 Q 3 = 1/180*500000/(25/1800)=200000

Y ahora veamos los repartos compuestos. El cálculo se realiza de la misma manera que en los repartos simples directamente proporcionales, pero dividiendo las cantidades por el producto de los valores que tomen las distintas variables (en los repartos compuestos intervienen dos o más variables). En el ejemplo y en la fórmula, voy a considerar dos variables, pero su planteamiento es extensivo para más de dos. Q 1 /(x 1 *y 1 )=Q 2 /(x 2 *y 2 )=Q n /(x n *y n ) = Q/(x 1 *y 1 +x 2 *y 2 +...+x n *y n ) Y despejando Q n , se obtiene esta fórmula: Q n = x n *y n *Q/(x 1 *y 1 +x 2 *y 2 +.....+x n *y n ) Ejemplo Vamos a repartir los beneficios de una empresa, que asciende a 100000 euros, en función de la cantidad de capital aportado por cada uno y por el número de días trabajados por cada uno de los socios. El capital aportado y los días trabajados por cada socio han sido: Capital aportado  Dias trabajados Socio 1 200000 50 Socio 2

Los repartos simples inversamente proporcionales se calculan de la misma forma que los directamente proporcionales, pero se dividen las cantidades por el inverso del valor de la variable. Por lo tanto, el método de cálculo será el siguiente: Q 1 /(1/x 1 )=Q2/(1/x 2 )=....=Q n /(1/x n )=Q/(1/x 1 +1/x 2 +....+1/x n ) Y despejando Qn obtenemos la fórmula general: Q n = 1/x n *Q/(1/x 1 +1/x 2 +....+1/x n ) Veamos un ejemplo: Ejemplo Una empresa premia a sus trabajadores con una cantidad de 10000 euros. El reparto se realiza en proporción inversa a los días de absentismo de la plantilla. Los días de absentismo de cada trabajador han sido: Pepe: 2 días Juan: 4 días María: 5 días Método de cálculo: Q 1 /1/2 = Q 2 /1/4 = Q 3 /1/5 = 10000/(1/2+1/4+1/5) Y despejando Q1, Q2 y Q3: Q 1 = 1/2*10000/(19/20) = 5263,16 (aprox) Q 2 = 1/4*10000/(19/20) = 2631,58 (aprox) Q 3 = 1/5*10000/(19/20) = 2105,26 Y recuerda que para comprobar si lo hem

Cuando se reparte una cantidad Q entre un número n de valores de una variable (podemos llamar a la variable x), obtenemos los valores que corresponde a cada uno de los valores de la variable (Q), mediante esta igualdad: Q 1 /x 1 =Q 2 /x 2 =.......=Q n /x n = Q/(x 1 +x 2 +....+x n ) Despejando la variable Qn, se obtienen las cantidades correspondientes a cada valor de la variable: Q n = x n *Q/(x 1 +x 2 +.....+x n ) Y para aclarar las cosas, un ejemplo. Ejemplo Los beneficios de una empresa ascienden  a 5000000 de euros. Repartir los mismos entre los accionistas, teniendo en cuenta la cantidad de capital que posee cada uno de ellos: Socio 1: 45% Socio 2: 30% Socio 3: 25% Q 1 /45=Q 2 /30=Q 3 /25=5000000/100 Q 1 = 45*5000000/100 = 2250000 Q 2 = 30*5000000/100 = 1500000 Q 3 = 25*5000000/100 = 1250000 La suma total de los repartos DEBE SER IGUAL AL TOTAL (para comprobar que lo hemos hecho bien). Así, 2250000+1500000+1250000 = 500000

Seguimos nuestro viaje por la matemática financiera. Se dice que una cantidad es proporcional a otra, cuando guarda una relación sobre la misma. Por ejemplo, el 20% de una cantidad o magnitud determinada equivale a 20 unidades de cada 100 de dicha magnitud. Cuando se han de repartir cantidades en función a unas proporcionalidades, es decir, relacionando la cantidad con todas las variables, se utilizarán los criterios de repartos proporcionales. Existen distintos tipos de repartos proporcionales: Reparto proporcional simple : Se realiza en función de una sola variable. Reparto proporcional compuesto : Se calcula en función de más de una variable. Reparto proporcional directo : Cuando la relación entre la variable y la cantidad asignada a ésta en el reparto mantienen una relación directa, es decir, la mayor variable recibe mayor cantidad. Reparto proporcional inverso : Cuando la relación entre variable y cantidad asignada a ésta es inversamente proporcional, o sea, a mayor

Los porcentajes son sucesivos cuando se aplican sobre el resultado de un tanto por ciento calculado anteriormente. La fórmula matemática de la aplicación es la siguiente: a final = a*(100-x 1 )/100*(100-x 2 )/100*........*(100-x n )/100 Ejemplo Un proveedor sirve a unos clientes mercancías por valor de 1000000 euros, descontándoles un 8% por volumen de compras. Al recibir la mercancía, el cliente reclama por encontrar en dicho suministro un volumen de piezas defectuosas. Se acuerda que el proveedor descontará un 5% sobre el pago a efectuar, correspondiente a dicho pedido. ¿Cuál será la cantidad a pagar por el cliente? Solución Cálculo del descuento del 8% sobre compras: x = 8 b=1000000 a = (1000000*8)/100 = 80000 El pago a efectuar por el cliente será de: 1000000 - 80000 = 920000 A esta cantidad se le aplica un 5% de descuento: a = (920000*5)/100 = 46000 Por tanto, la cantidad final a pagar por el cliente será de: 920000 - 46000 =

Los tantos por ciento son simultáneos cuando se aplican distintos porcentajes sobre la misma cantidad. Para su cálculo, estos porcentajes se pueden simplificar en uno solo mediante sus adiciones o diferencias, según convenga. Como siempre, un ejemplo: Un proveedor nos ofrece un descuento por pronto pago del 10%, otro descuento del 7% si compramos una cantidad superior a 500000 euros, pero se aplica un recargo del 8% por servir los productos antes de 48 horas. ¿Cuál será el precio resultante para un pedido servido antes de 48 horas de 600000 euros? Solución Cálculo del porcentaje a aplicar: 10 + 7 - 8 = 9% b = 600000 a = (600000*9)/100 = 54000 El descuento es de 54000 euros, por lo que el precio resultante será: 600000 - 54000 = 546000

Antes de pasar a ver más materia financiera, voy a dar unas explicaciones sobre algunos conceptos de matemática financiera, que aunque parezcan sencillos, pueden surgir dudas sobre su uso o cálculo. Vamos allá. El cálculo del tanto por ciento consiste en relacionar dos cantidades de modo que una se expresa en base 100 de otra. O, dicho de otro modo, que exprese la cantidad de la primera magnitud que existe para cada 100 unidades de la segunda. La notación que se utiliza para expresarlo es %. Se obtiene mediante una regla de tres: a/b = x/100 Despejando x, se obtiene el tanto por ciento de a sobre b; x = a/b*100 Veamos un sencillo caso referente a la aplicación del tanto por ciento: Un proveedor ofrece un descuento a sus clientes del 5% por pronto pago. ¿Cuál será el descuento en unidades monetarias para un cliente que desea adquirir productos por valor de 200000? x = 5% b=200000 Sustituyendo y despejando: a = (x*b)/100 = (200000*5)/100 =10000 L

Un ejemplo más sobre el efecto fin de año. Ejemplo Ahora nos ha surgido la oportunidad de entrar en la industria de los parques de ocio, instalando una noria. Y hemos hecho las siguientes estimaciones: La atracción tiene un coste de 2000000 de euros Por motivos de seguridad y legales, deberá ser renovada cada 4 años, con un valor residual del 40% El proyecto generará un cash-flow anual de 600000 euros La vida del proyecto es indefinida El coste del capital para el negocio se estima en un 13% anual. Tenemos que calcular el VAN y la TIR del proyecto Solución Ten en cuenta que ahora nos encontramos ante una renta indefinida, por lo que la fórmula para calcular el VAN con factor corrector será: VAN = 600000/(0,13)*(1+0,13/2) - 2000000 -1200000/((1,13) 4 - 1) = 1012053,56 (aprox) El VAN es positivo, por lo que recomendamos abordar el proyecto. Y ahora, la TIR, con factor corrector: TIR = 600000/r*(1+r/2) - 2000000-1200000/((1+r) 4 -1) = 0 ===> r =

Un ejemplo. Ejemplo Estamos analizando la posibilidad de instalar un tren de lavado de coches junto a una gasolinera. Y tenemos esta información: Se requiere una inversión inicial de 150000 euros El proyecto generará un cash-flow anual de 28000 La vida del proyecto será de unos 10 años, al cabo de los cuales podremos vender el tren de lavado por 10000 euros. El coste de capital para este negocio lo estimamos en el 12% anual. Tenemos que calcular el VAN y la TIR de este proyecto. Solución Calculamos el VAN, empleando el factor corrector: VAN = 28000*((1,12) 1 0-1)/(0,12)*(1,12) 10 *(1+0,12/2) + 10000/(1,12) 10 - 150000 = 20918,36 El VAN es positivo, por lo que es recomendable realizar la inversión. Y ahora calculamos la TIR del proyecto, utilizando factor corrector. TIR = 28000*((1+r) 10 - 1)/(r*(1+r) 10 )*(1+r*1/2) + 8000/(1+r) 10 -150000 = 0 Tenemos que iniciar un proceso de prueba error, y sabemos que si descontamos los

Bueno, sigamos con este tema. Vamos a recordar los dos ejemplos anteriores: aquí y aquí. Los flujos de cash-flows anuales NO SE GENERAN TODOS AL FINAL DEL AÑO .  Los 90000 euros anuales de cash-flow del proyecto, o el cash-flow anual que obtiene cualquier empresa, es el resultado de un conjunto de entradas y salidas de tesorería que se producen a lo largo del año . Las empresas venden sus productos y los cobran, pagan las materias primas, los sueldos, la electricidad, teléfono... a lo largo de todo el año. Por lo tanto, l os cash-flows anuales forman una renta fraccionada. Si los cobros de ventas y pagos de gastos se producen más o menos regularmente a lo largo del año, el vencimiento medio del cash-flow anual estará aproximadamente a mitad de año . Por lo tanto, habrá que aplicar un "corrector" de 1/2. Recalculamos el VAN y la TIR: VAN = 90000*((1,1) 9 -1)/((0,1)*(1,1) 9 )*(1 +0,1*1/2) - 450000 = 94227,75 TIR = 90000*((1+r) 9 -1)/(r*(1+r) 9 )*(1+r*

Puede que os surja la duda sobre que criterio utilizar para evaluar las inversiones, el VAN o la TIR. Mi recomendación es que uséis el VAN siempre que podáis. No quiero decir que el TIR sea un mal criterio de evaluación, aunque a veces genera algunos problemas (soluciones negativas, varias soluciones, dificultad en el cálculo...) En las siguientes entradas, explicaré las decisiones de inversión teniendo en cuenta el efecto fin de año.

La TIR de un proyecto es el tipo de interés para el que se produce equivalencia financiera entre los cash-flows positivos y negativos del proyecto. Para calcular el TIR, hay que descontar los cash-flows. Una vez que calculamos la TIR, la comparamos con la rentabilidad mínima que esperamos obtener del proyecto, a la que llamaremos coste del capital. Esta rentabilidad mínima exigida dependerá del riesgo del proyecto. La regla de la TIR: Un proyecto se acepta si su TIR es mayor que la rentabilidad exigida Un proyecto se rechaza si su TIR es menor que la rentabilidad exigida La TIR es el tipo de descuento que hace que el VAN de un proyecto sea cero. Como ejemplo, vamos a calcular la TIR de la entrada anterior. Los cash-flows positivos forman una renta constante, entera, temporal, por lo que ya sabemos, no es necesario actualizarlos uno a uno (aunque puedes hacerlo, si quieres). 90000*((1+r) 9 -1)/((r)*(1+r) 9 ) -450000 = 0 Ahora, podemos empezar un proceso de pr